Abt. 1 + 1 = 2 | Max Horkheimer/Theodor W. Adorno | Dialektik der Aufklärung

Nun gut, wenn geschrieben wird, dass "Denn Aufklärung ist totalitär wie nur irgend ein System", so heisst das mit anderen Worten, dass man lieber bei fehlerbehafteten Ideen verbleibt.

Vielleicht ist das alles nur aus dem Zusammenhang gerissen und die Autoren wollen etwas ganz anderes aussagen, aber der Umstand, dass hier genau das zitiert wird, spricht eine deutliche Sprache. Natürlich muss jeder für sich selber entscheiden; ich für mich selber kann nur aussagen, dass ich es bevorzuge, Fehler zu beseitigen, um - vielleicht etwas naiv formuliert - der Wahrheit "näher" zu sein. Mathematische Methoden leisten - richtig angewandt - dabei gute Dienste.

Sie werden Verständnis haben, dass ich unter solchen philosophischen Anfangsbedingungen darauf verzichte, hier über den Begriff der "Wahrheit" und darüber, was es bedeuten soll, dieser "näher" zu sein, zu diskutieren, da mir persönlich diese absichtliche Willkür einfach zuwider ist.

Sie werden ebenfalls Verständnis haben, dass nach monatelanger Aufklärungsarbeit die verunglimpfende Wortwahl des zitierten Artikels sowohl bezüglich der Aufklärung als auch bezüglich der Mathematik - immerhin meiner Disziplin - ein Affront nicht zuletzt auch gegen meine Person darstellt.

Ich kann das aber gut ertragen, da Sie mit dieser Wortwahl Ihre wahren Absichten besser dokumentieren als ich es je tun könnte und würde. Danke also für Ihre Offenherzigkeit.

Freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg

Sehr geehrter Herr Kannenberg
wir haben befürchtet, dass Sie diese Statements gegen sich persönlich gemünzt verstehen werden, wir haben aus genau diesem Grund nun lange gezögert diese Zitate so zu veröffentlichen - jedoch liegt die Schwierigkeit des Dialoges über Disziplinen eben darin, dass wir entweder die Sprache der Naturwissenschafter sprechen müssen um im Dialog mit Naturwissenschaftern angesichts naturwissenschaftlicher Logik wortlos zu werden - oder aber wir setzen einen Kontrapunkt - keinesfalls gegen Sie persönlich sind diese Sätze gemeint - jedoch umschreiben diese Sätze bestens die Schwierigkeit des schwierigen Dialoges und auch die Tragik der neuzeitlichen Technophilie einer materialistisch orientierten Elite.
mit ehrlich herzlichem Gruss, Marc Fasnacht

Sehr geehrter Herr Fasnacht,

danke für Ihre guten Worte. Und ja, ich gebe Ihnen Recht - in einem schwierigen Dialog ist es wichtig, ALLE Aspekte zu nennen, denn man kann nur Meinungen beurteilen, die auch genannt werden.

Im Übrigen hatte ich bei meinem Kommentar bewusst auf eine Anrede verzichtet, weil ich nicht beurteilen konnte, ob Sie diesen Artikel nur zitiert haben oder auch in dieser Form inhaltlich teilen.

Gleichfalls freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg

Hallo Herr Kannenberg
ich habe die Zitate des Artikels nicht selber ausgewählt - jedoch habe ich diese Zitate veröffentlicht und gerade zu diesen Zitaten stehe ich auch inhaltlich vollumfänglich - mir persönlich würde es kaum gelingen mein Unbehagen mit unserer Zeit, das durchaus im Automatenhaften der Menschen und ihrer 'Werte' liegt, treffender sprachlich zu skizzieren.

Ich habe keinerlei Unbehagen mit Menschen, die da anderer Ansicht sind, Dialog zu führen - ich habe ein grosses Unbehagen mit der schweigenden Mehrheit, die zu eigenständigem Denken nicht (mehr) befähigt ist, weil sie schon von Kindsbeinen an gelernt haben, dass da immer wer ist, der 'es' besser weiss - ich habe ein grosses Unbehagen angesichts der grossen schweigsamen und allein um ihr persönliches materielles Auskommen besorgten Mehrheit - diese Menschen tun mir zwar auch leid, weil ich deren Leben so nicht leben wollte, doch ist's eben eine unbehagliche Situation.

Der grosse Teil der Menschheit lebt absolut berechenbar berechnend - auch wenn manche kaum mehr als einfache Addition beherrschen - das 'Irrationale' war noch nie so 'verteufelt' wie heute - eine der Schönheiten der Mathematik ist ja auch, dass auch mit Irrationalem gerechnet werden kann - leider aber wird i meist nur behelfsmässig gebraucht, 'nur' um schnellstmöglich wieder aus den Gleichungen heraus gekürzt zu werden - aber das eigentliche Wunder der Existenz ist doch irrational, egal ob 'wir' nun den 'Urknall' betrachten oder eine Blume - das Phänomen, dass etwas ist und nicht nichts, das ist genau der irrationale Aspekt aller Wahrscheinlichkeitsberechnungen. Oder täusche ich mich da?
freundliche Grüsse, Marc Fasnacht

Errata: Im Bestreben Herrn Kannenberg zu versichen, dass Adorno/Horkheimer nicht gegen ihn persönlich gemünzt ist - ist mir dummerweise ein Lapsus zu 'Irrational' und 'Imaginativ' geschehen - dies wohl weil ich müde war - ich bitte mir dies nachzusehen.

Marc Fasnacht

Sehr geehrter Herr Fasnacht,

erlauben Sie mir noch ein ekleine Ergänzung zu Ihrem Hinweis mit der imaginären Einheit "i":

Keineswegs "i" wird "herausgekürzt", sondern wenn man es korrekt aufschreibt der Term (x^2+1). Man betrachtet also nicht primär "Lösungen", sondern zugehörige Polynome mit rationalen Koeffizienten. Und die Theorie solcher Polynome mit rationalen Koeffizienten lernt man im 3.Semester im Mathematikstudium; von der Schwierigkeit her könnte man das auch problemlos im ersten Semester lehren.

Sei noch angefügt, dass wie Sie in Ihrem letzten Beitrag bereits geschrieben haben "irrational" und "imaginär" verwechselt haben: Eine Zahl ist "irrational", wenn sie nicht Nullstelle eines o.g. Polynoms vom Grade 1 sein kann und sie heisst "imaginär", wenn sie nicht ausschliesslich reellwertig ist. Polynome mit rationalen Koeffizienten vom Grade 2 können also beispielsweise eine irrationale Zahl als Lösung haben (Quadratwurzel 2 als Nullstelle von (x^2-2) oder auch eine imaginäre Lösung ("i" als Nullstelle von x^2+1).

Wobei ich nicht verschweigen möchte, dass ich angenehm überrascht bin, dass Ihnen dieser "Lapsus" wie sie das nennen, aufgefallen ist - ich denke, die meisten Laien kennen sich nicht so gut aus, um diesen Unterschied zu kennen.

Freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg

Sehr geehrer Herr Kannenberg


Ihnen zuerst meine ehrliche Anerkennung und Dankbarkeit darob, dass Sie es nicht nötig haben auf meinen erneuten Lapsus - imaginativ statt imaginär - zu verweisen und statt dessen interessierende Differenzierung einringen.


Ich muss aber leider gestehen, Ihre Begriffserklärung nicht zu verstehen.


In meinem Laienverständnis sind imaginäre Zahlen (komplexe Zahlen) definiert als reele Zahlen die mit i (der Quadratwurzel von -1) multipliziert sind. Auch bei eben erfolgtem raschem Nachschlagen bei wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl) habe ich Ihren Term ("i" als Nullstelle von x^2+1) nicht gefunden - jedoch bin ich schier erschlagen über die Fülle der Denkanregungen.


hier setze ich meinen Kommentar eben noch fort - dies ist für mich persönlich interessant!

freundliche Grüsse und besten Dank
Marc Fasnacht

Sehr geehrter Herr Fasnacht,

es ist eben so, dass man mit Polynomen auch rechnen kann. Man kann also aus dem Rechnen mit Polynomen auf das Verhalten ihrer Nullstellen schliessen. Das mag für den Laien umständlich erscheinen, hat aber den Vorteil, dass man mit dieser Methodik nach wie vor EXAKT rechnet, was von grosser Wichtigkeit ist, wenn man mit einem Computer rechnet und dieser sonst Rundungsfehler macht.

Schön, und die exakte Darstellung des Bruches 1/2 in Polynomdarstellung ist eben (2x - 1), die exakte Darstellung der Quadratwurzel(2) in Polynomdarstellung ist (x^2 - 2) und die exakte Darstellung der imaginären Einheit "i" in Polynomdarstellung ist eben (x^2 + 1).

Wenn Sie diese Polynome jeweils gleich 0 setzen und die Lösungen bestimmen, so ist eine der erhaltenen Lösungen gerade die dargestellte Zahl.

Und der Hauptsatz der Algebra garantiert Ihnen, dass es nur maximal n solcher Lösungen geben kann (bzw. mit Vielfachheiten gezählt im Körper der komplexen Zahlen GENAU n), wobei n die höchste x-Potenz ist, welche einen von 0 verschiedenen Koeffizienten hat.

Ich rechne es Ihnen noch rasch vor:
(2x - 1) = 0 => 2x = 1 => x = 1/2
(x^2 - 2) = 0 => x^2 = 2 => x = Quadratwurzel(2) oder x = (-1)*Quadratwurzel(2)
(x^2 + 1) = 0 => x^2 = (-1) => x = Quadratwurzel(-1) oder x = (-1)*Quadratwurzel(-1)

Freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg

Sehr geehrter Herr Fasnacht,

ich erwarte nun nicht, dass Sie meinen nachfolgenden Beitrag verstehen; darauf kommt es auch gar nicht an - ich möchte Sie nur auf die "Problematik" hinweisen.

Wollen wir das einfache Beispiel der Kubikwurzel aus 2 betrachten. Diese also ist Nullstelle des Polynoms (x^3 - 2).

Die Lösung wäre also (x^3 - 2) = 0 => x^3 = 2 => x = Kubikwurzel(2).

Soweit so schön, doch in meinem letzten Beitrag habe ich geschrieben, dass es im Körper der komplexen Zahlen bis auf Vielfachheiten exakt 3 Lösungen geben muss; man kann einfach zeigen - ich will jetzt nicht in dieses Detail eindringen; Stichwort ist "Ableitung" - dass die Vielfachheit dieser Nullstellen nur 1 beträgt.

Wo also sind die beiden anderen Nullstellen ?

Nun, ich nenne Ihnen die Lösungen, es sei Ihnen überlassen, dies selber zu überprüfen:

2.Lösung: -1/2 + i*1/2*Quadratwurzel(3)*Kubikwurzel(2)
3.Lösung: -1/2 - i*1/2*Quadratwurzel(3)*Kubikwurzel(2)

Ich hoffe, ich habe mich nun nicht verrechnet; die drei Lösungen bilden einen auf der Seite liegenden nach links geöffneten Mercedesstern (d.h. Zwischenwinkel je 120°), deren drei Äste die Länge Kubikwurzel(2) haben.

Freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg

Hallo Herr Kannenberg!
während ich an einer dankenden Antwort schreibe zur mir unbekannten Polynomdarstellung dessen was ich bis anhin (einfach) als QuadratWurzel von -1 (also i) verstanden habe, legen Sie noch eins drauf und konfrontieren mich mit der, für Sie wohl sehr einfachen Polynomdarstellung der Kubikwurzel von 2.
Hier vorest meine beinahe fertiggestellte Antwort an Sie zu Ihrem vorletzten Beitrag zu u.a. der exakten Darstellung der imaginären Einheit "i" in Polynomdarstellung:

Vielen Dank!
mit obenstehender Rechnung beantworten Sie mir die dumme kleine Frage, die ich mir eben heute vormittag schon gestellt habe, nämlich ob und wie es denn für die Lösung der quadratischen Gleichung i^2 = -1 zwei Lösungen gäbe - dass die Lösung meines Problemes so einfach ist ist hocherfreulich und offensichtlich !!! - schade nur, dass ich nicht selber darauf gekommen bin - so einfach ist das: die Quadratwurzel von - 1 ist i UND -1*i .

Zu Ihrem neuesten Beitrag möchte ich vorerst schweigen und darüber nachdenken - ich will und werde das Vermittelte durchaus verstehen - doch bitte ich Sie mir vorerst zu beantworten was genau dar Begriff Nullstelle eines Polynoms bezeichnet?
Es wird wohl nicht einfach die Null rechts vom Gleichheitszeichen sein - eher vermute ich, dass die 'Nullstelle' die Umformung einer mathematischen 'Fragestellung' in eine Gleichung bedeutet, in der auf der einen Seite des Gleichheitszeichens Null steht - falls Ihnen meine Nachfrage absurd oder als Ausdruck mangelnder Intelligenz erscheint, dann bedauere ich dies - ich habe nun tatsächlich mehrere Male Ihre Beiträge gelesen, doch wird für mich nicht ersichtlich wie denn der Begriff Nullstelle zu verstehen ist.



 

womit Wikipedia heute erneut zur grosser und verdienter Ehre gelangt.
Ich danke Ihnen herzlich, Herr Kannenberg und ich bitte Sie um ausreichend Geduld um mich in die Grundlagen Ihrer Kunst, der Mathematik, einzuarbeiten. Ich werde jedenfalls auf den links geöffneten Mercedesstern zurückkommen - doch muss ich die Polynomdarstellung der Kubikwurzel von 2 zuerst verstehen.
Freundliche Grüsse, Marc Fasnacht


p.s. Ohne Sie provozieren zu wollen: können Sie anhand oben dargestellten Graphs die (sicherlich kubische) Funktion erkennen und drücken die römischen Zahlen eine Hierarchie der Nullstellen dieser Funktion aus?

Sehr geehrter Herr Fasnacht,

nun - kubisch kann dieser Graph bestimmt nicht sein, denn wenn man die Nullstellen (-3, -1 und +1) mit ihren Vielfachheiten zählt, kommt man schon auf Grad 6 und obendrein sieht man, dass der auf dem Bild dargestellte Graph sowohl für sehr grosse x als auch für sehr kleine x gegen "plus unendlich" geht. Somit muss der Grad, d.h. der höchste "echte" Exponent des Polynoms, eine gerade Zahl sein.

Zählen wir mal die Nullstellen durch: Sie sehen, dass sich die Nullstelle bei -3 von den beiden anderen darin unterscheidet, dass sie die x-Achse nur berührt, aber nicht überquert. Würde die Kurve ein ganz ganz kleines bisschen tiefer verlaufen, so hätten Sie hier zwei ganz ganz nahe liegende Nullstellen. Deswegen nennt man solche Nullstellen "doppelt"; mathematisch gesprochen ist die erste Ableitung (= Steigung) des Polynoms an der Stelle -3 ebenfalls 0.

Das soll wohl auch die römische Numerierung andeuten: (I) bei (-1,0) ist eine einfache Nullstelle, (II) bei (-3,0) eine doppelte Nullstelle und (III) bei (1,0) …

… tja, das sieht nach einer dreifachen Nullstelle aus, denn in (1,0) erkennen Sie schon von blossem Auge einen Sattelpunkt. In diesem Sattelpunkt ist nicht nur das Polynom gleich 0, sondern auch die erste Ableitung (= Steigung) UND die zweite Ableitung (die Steigung der Steigung; wenn die Steigung einer Kurve ansteigt, dann heisst das ja, dass die Krümmung dieser Kurve zunimmt und tatsächlich kann man zeigen, dass die 2.Ableitung einer Kurve also die Krümmung ist). Und in einem Sattelpunkt ist die Krümmung gleich 0.

Somit haben wir mit Vielfachheiten gezählt eine doppelte Nullstelle bei (-3,0), eine einfache bei (-1,0) und gar eine dreifache bei (1,0). Das ergibt also mindestens 6 Nullstellen, d.h. falls die zugrundeliegende Funktion wirklich ein Polynom ist, muss dieses mindestens vom Grade 6 sein.

Als Ansatz kann man nun also die Gleichung a_6*x^6 + a_5*x^5 + a_4*x^4 + a_3*x^3 +a_2*x^2 + a_1*x + a_0 wählen. Sie müssen also 7 Unbekannte bestimmen.

Die drei Nullstellen bei -3, -1 und 1 können Sie einsetzen; damit kann man 3 der 7 Unbekannten bestimmen.

Als nächstes betrachtet man die erste Ableitung: Sowohl bei der doppelten als auch bei der dreifachen Nullstelle muss da 0 herauskommen, d.h. sie können diese beiden Werte in die erste Ableitung einsetzen und erhalten zwei weitere Parameter. Dies ist die Gleichung der ersten Ableitung: 6*a_6*x^5 + 5*a_5*x^4 + 4*a_4*x^3 + 3*a_3*x^2 +2*a_2*x + a_1; wenn das bislang alles linear unabhängig ist (und das sieht mir so aus) können Sie mit der vorliegenden Information bereits 5 der benötigten 7 Parameter bestimmen. Bei -2 und bei ungefähr -0.5 sehen Sie weitere Nullstellen der ersten Ableitung, die man ebenfalls in die Gleichung einsetzen kann. Nun haben wir bereits 7 Bedingungen.

Und zu guter letzt wissen wir, dass bei 1 ja eine dreifache Nullstelle vorliegt, d.h. die dritte Ableitung hat an der Stelle 1 ebenfalls den Wert 0. Das ist nun aber schon die 8.Bedingung, d.h. nur wenn die bisherigen linear abhängig sind, ist dieses Gleichungssystem bestimmbar, andernfalls benötigen Sie ein Polynom 8.Grades; da Sie aber nur 7 Variable haben wäre dann diese Aufgabe nicht eindeutig lösbar.

Mit etwas Glück kann man sich die Mühe aber einfacher machen und nutzen, dass diese Nullstellen mehrfach sind; dann würde das gesuchte Polynom folgendermassen aussehen:
p(x) = (x+3)^2 * (x+1) * (x-1)^3 *(a*x^2 + b*x + c); ich habe das nun nicht durchgerechnet, aber vielleicht kann diese Darstellung den Rechenaufwand vereinfachen, da Sie nun nur noch drei Unbekannte haben. Allerdings wie schon gesagt - Sie haben nun nur noch zwei Bedingungen, und somit erscheint mir diese Aufgabe nicht eindeutig lösbar zu sein.

Ich möchte nicht verschweigen, dass ich letztmals solche Aufgaben vor über 20 Jahren gelöst habe; es ist also gut möglich, dass mir bei diesen Betrachtungen irgendwo ein dummer Fehler unterlaufen ist.

Freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg

Sehr geehrter Herr Fasnacht,

ohne es im Detail nachgerechnet zu haben: Da der Graph ein Polynom ist, muss eine dreifache Nullstelle automatisch auch eine zweifache Nullstelle sein, d.h. die zugehörige von mir genannte Bedingung ist linear abhängig.

Somit könnte es möglich sein, die Aufgabe als Polynom 6.Grades zu lösen und Sie können mal überprüfen, ob der Ansatz (x+3)^2 * (x+1) * (x-1)^3 auch die Bedingungen der zweiten und dritten Ableitung erfüllt.

Freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg

Hallo Herr Kannenberg, zu mehr als folgender, hoffentlich korrekt berechneter, Ausmultiplikation bin ich heute nicht mehr fähig, zumal mir noch immer unklar ist, wo nun die Nullstellen liegen und wie ich an den Nullstellen überprüfen kann ob der 'Ansatz auch die Bedingungen der zweiten und dritten Ableitung erfüllt' und was denn 'die Bedingungen der zweiten und dritten Ableitung' sind.

(x+3)^2 * (x+1) * (x-1)^3 =

(x^2 + 6x +9)(x + 1)(x^3 - 3x^2 +3x -1)=

x^6 + 4x^5 - 3x^4 -14x^3 + 19x^2 + 36x + 9

freundliche Grüsse, Marc Fasnacht


jedenfalls geht's so weiter: http://de.wikipedia.org/wiki/Nullstellen

Sehr geehrter Herr Kannenberg,
ich freue mich, meinem gestrigen Kurzstatement nach relativ langer Berechnung, nun noch ein paar Zeilen meiner Anerkennung Ihrer gestern geleisteten didadaktischen Arbeit anzuschliessen, auf dass nicht untergehe, dass ich Ihren Aufwand wahrnehme.


Ich habe gestern zum ersten Mal seit 27 Jahren eine solche Gleichung ausmultipliziert und ich werde diese Gleichung heute nochmals ausmultiplizieren - auf dass ich sicher sein kann, richtig gerechnet zu haben.


Hätte ich ein Mathematikprogramm, das mir den Graph der Funktion aufzeichnet, wäre das Auffinden der Nullstellen und das Erkennen der Vielfachheiten kein so grosses Problem wie es das jetzt für mich ist.


Ich denke, gestern zum ersten Mal von Nullstellen und Vielfachheiten gehört zu haben, - diese Begriffe wurden zu meiner Schulzeit wohl anders benannt. Dass die zweite Ableitung die Steigung der Steigung ist wusste ich hingegen noch, doch wie zu rechnen wusste ich nicht mehr - ob ich das heute hinkriege weiss ich auch nicht.


Länger als heute vormittag eine Stunde werde ich nicht andieser 'Hausaufgabe' bleiben können - vielleicht dann am Wochenende mehr.


Jedenfalls bin ich beeindruckt über Ihre Kunst - in jedem Ihrer Sätze von vorletztem Kommentar schreiben sie zumindest einen Halbsatz, den ich gerne gesondert besprechen würde, doch reicht eben meine Zeit nicht und ich fürchte auch zu langweilen - mein öffentliches Lernen hier bitte ich auch als Versuch zu verstehen, die Aggressivität der Sätze Horkheimer/Adorno zu relativieren - wir haben diese Sätze publiziert, wir stehen zu diesen Sätzen, die tatsächlich in anderem Zusammenhang geprägt wurden, auch als Ausdruck unserer Schwierigkeit in 'schwierigem Dialog' unsere Besorgnis überhaupt diskutieren zu können - wir müssen unsere Sprache der Sprache des 'Experimentators' anpassen - nun aber werde ich die Rechnung nochmals rechnen; und dann werde ich versuchen die Nullstellen zu finden und deren Vielfachheiten zu bestimmen - und wenn mir das nicht gelingen sollte, dann werde ich Sie um Rat fragen - und ich werde mich dennoch für berechtigt halten, weiterhin die Megalomanie und die allfälligen Risiken CERNs zu besprechen.

Freundliche Grüsse, Marc Fasnacht

Sehr geehrter Herr Fasnacht,

ich bewundere die Mühe, die Sie sich gemacht haben. Leider enden ja solche Berechnungen meistens irgendwo mit einem langweiligen Rechenfehler; auch die von Ihnen genannte Lösung kann nicht stimmen, denn f(1) = 0, aber
x^6 + 4x^5 - 3x^4 -14x^3 + 19x^2 + 36x + 9 an der Stelle x=1 liefert 1 + 4 - 3 - 14 + 19 + 36 + 9 = 52, welches von 0 verschieden ist.

Ich selber habe im 2.Versuch (keineswegs im ersten ...) folgendes erhalten:
x^6 + 4x^5 - 3x^4 -16x^3 + 11x^2 + 12x - 9

Proben:
f(1) = 1+4-3-16+11+12-9 = 0 ok
f(-1)= 1-4-3+16+11-12-9 = 0 ok

Am mühsamsten ist f(-3); ich habe das alles von Hand gerechnet und erhalte also: 729-972-243+432+99-36-9 = 0, ist also auch ok.

Das muss nun nicht heissen, dass meine Ausmultiplikation korrekt ist, aber zumindest die 3 Proben hat es überstanden (falls ich mich bei den Proben nicht verrechnet habe).

Der nächste Schritt wäre nun, dass Sie meine Rechnung bestätigen.

Danach kann man die übrigen Bedingungen überprüfen, konkret:
1.Ableitung: f'(-2) = 0
1.Ableitung: f'(-0.5) = 0
1.Ableitung: f'(1) = 0 (eigentlich nicht nötig, da wir wissen, dass diese Bedingung linear abhängig ist)
2.Ableitung: f''(1) = 0

Und wenn diese Proben aufgehen, haben wir die gesuchte Funktion gefunden; andernfalls, d.h. falls es einen Widerspruch gibt, muss das Polynom einen höheren Grad haben (d.h. wegen dem Verhalten für sehr grosse und sehr kleine x den Grad 8) und dann ist diese Aufgabe aber nicht eindeutig lösbar.

Freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg

Sehr geehrter Herr Kannenberg,
ich hatte wirklich vor mich der Rechnung nochmals zu widmen und vorallem auszutesten, ob meine Zusammenzählungen der diversen Potenzen auch stimmen - ich habe schon vermutet, dass mir da gestern ein zwei Fehler geschehen sein könnten ... nun haben Sie eigentlich alles gerechnet und kontrolliert ... derweil ich von ganz Anderem an der Berechnung gehindert wurde.
Die Ueberstrukturiertheit der Lebenszeit der neuzeitlichen Menschen wäre auch ein Thema für sich.

Ich danke Ihnen und werde bald auf 'unsere' Rechnung zurückkommen.

Freundliche Grüsse, Marc Fasnacht

Hallo Ralf und Marc




da Du Ralf, irgendwo in den unergründlichen Katakomben dieses Forums die liebevoll kultivierte Konkurrenz von Mathematikern, Physikern und Ingenieuren angesprochen hattest, will ich zu Eurem Thema eine ingenieurtechnische Lösung Eurer Kurvendiskussion beitragen:




Das Polynom, so wie ich es mit allen Verzerrungen und pixeltechnischen Ungenauigkeiten bestimmen konnte, läßt sich beschreiben mit:




Y = 0,1 * x6 + 0,4*x5 - 0,3*x4 -1,6*x3 + 1,1*x2 + 1,2*x - 0,8936




Diese Lösung wurde ermittelt durch Digitalisierung von 133 Kurvenpunkten mit Hilfe der Freeware Tracer17 http://www.geocities.com/karolewski/ und DataFit 8 http://www.curvefitting.com/ (Das ist keine Freeware) Das dauert 10 Minuten, und wenn ich wieder rausfinde, wie ich Tracer dazu bringe, die Kurve automatisch zu digitalisieren, dauert es 4 Minuten.








In diesem Sinne kenne ich übrigens eine nette Anekdote zu: Ein Ingenieur, ein Physiker und ein Mathematiker . werden von einem Mediziner gefragt: Sach' ma eben einer, wieviel ist 5 * 14. Der Ingenieur holt seinen Rechenschieber aus der Kitteltasche (die Anekdote ist schon älter) schiebt sorgfältig und antwortet: "Na, ziemlich genau 7 äh nein 70."




Der Physiker und der Mathematiker ziehen sich in ihr Kämmerlein zurück, der Physiker kommt nach einer Stunde: "70! Mit einer 1 S Abweichung von 0,003."
Der Mathematiker kommt nach 3 Tagen, mit strahlendem Triumpf auf dem Gesicht: "Es existiert eine Lösung!"




(Das ,äh nein 70' werden vielleicht nur noch diejenigen verstehen, die noch wissen wie man mit einem Rechenschieber rechnet)




Herzliche Grüße




MAC

Sehr geehrter Herr Fasnacht, hallo MAC

ich habe nun auch einmal die 1.Ableitung untersucht:

p(x) = x^6 + 4x^5 - 3x^4 -16x^3 + 11x^2 + 12x - 9, daraus folgt

p'(x) = 6*x^5 + 20x^4 - 12x^3 - 48x^2 + 22x + 12

Machen wir die Proben:
p'(-3) = 6*(-3)^5 + 20*(-3)^4 - 12*(-3)^3 - 48*(-3)^2 + 22*(-3) + 12 =
-6*243 + 20*81 + 12*27 - 48*9 - 22*3 + 12 = -1458+1620+324-432-66+12 = 0

p'(-2) = 6*(-2)^5 + 20*(-2)^4 - 12*(-2)^3 - 48*(-2)^2 + 22*(-2) + 12 =
-6*32 + 20*16 +12*8 - 48*4 - 22*2 + 12 = -192+320+96-192-44+12 = 0

p'(-1/2) = 6*(-1/2)^5 + 20*(-1/2)^4 - 12*(-1/2)^3 - 48*(-1/2)^2 + 22*(-1/2) + 12 =
-6/32 + 20/16 +12/8 - 48/4 - 22/2 + 12 = -3/16+20/16+24/16-12-11+12 = 41/16 - 11 ungleich 0

p'(1) = 6 + 20 - 12 - 48 + 22 + 12 = 0

Nun gut, dass die erste Ableitung bei -1/2 nicht 0 ergibt ist ja nicht wirklich überraschend; vielelicht haben wir das in dem Graphen nur falsch abgelesen. Prüfen wir zuerst noch die 8.Bedingung und berechnen wir anschliessend den richtigen Wert dieser Maximumstelle in der Nähe von -1/2.

p''(x) = 30*x^4 + 80x^3 - 36x^2 - 96x + 22 p''(1) = 30 + 80 - 36 - 96 + 22 = 110 - 132 + 22 = 0

Somit sind alle Proben mit Ausnahme der schlecht ablesbaren Probe in Ordnung.

Berechnen wir nun also noch die fehlende Extremstelle in der Nähe von -1/2:

p'(x) = 6*x^5 + 20x^4 - 12x^3 - 48x^2 + 22x + 12

Setzen wir schon die uns bekannten Extremstellen bei -3 (doppelte Nullstelle), bei -2 (abgelesen) und bei 1 (dreifache Nullstelle, d.h. doppelte Nullstelle der 1.Ableitung) ein:

p'(x) = q(x)*(x+3)*(x+2)*(x-1)^2

Wir müssen nur noch q(x) bestimmen und seine Nullstellen q_1 berechnen. q(x) bestimmt man im Allgemeinen mit Polynomdivision; da wir aber schon 4 seiner Nullstellen kennen, verwenden wir aus Bequemlichkeit den Satz von Vieta, der besagt, dass das konstante Glied das Produkt aller Nullstellen multipliziert mit dem Koeffizient der höchsten Potenz ist:

12 = (q_1 * (-3) * (-2) * 1 * 1)*6, also q_1 = -(1/3); wenn ich mir den Graphen anschaue, so sehen wir, dass ich das erwartungsgemäss nur zu ungenau abgelesen habe und der Extremwert auch bei -1/3 liegen könnte.


Damit ist die Aufgabe vollständig gelöst und das Ergebnis ist: p(x) = x^6 + 4x^5 - 3x^4 -16x^3 + 11x^2 + 12x - 9

Freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg

Hallo Herr Kannenberg!

ich bin schlicht beeindruckt über Ihre Kunst! und ich danke Ihnen und auch MAC für Ihre Kommentare und auch Ihren Humor!
Ich bedauere nicht selber intensiver mitgerechnet zu haben - dies entgegen meiner ursprünglichen Vormittagsplanung - die Genderfrage, von der 'anderen Seite' aus gesehen, hat - wie schon oft - daran gehindert rasch umzusetzen, was rasch getan werden sollte.
Jedenfalls werde ich sehr gerne erneut mathematisches Nicht- oder Halbwissen hier zur Diskussion stellen.
Ich danke!
freundliche Grüsse, Marc Fasnacht

Hallo Mac,

mit dem Rechenschieber berechnet man halt 5 * 1.4 ...

Wenn Dein Mathematiker was auf sich hält, würde er in diesen 3 Tagen übrigens auch noch herausfinden, dass die Lösung nicht nur existiert, sondern sogar dasselbe wie 14 * 5 ergibt.

Ich persönlich würde übrigens noch anders rechnen, weil ich besser durch 2 dividieren als mit 5 multiplizieren kann:

5 * 14 = (10 * 1/2) * 14 = 140/2 = 70.

Freundliche Grüsse, Ralf

Sehr geehrter Herr Fasnacht,

leider sind mir 2 kleine Fehler unterlaufen, die ich hiermit richtigstellen möchte:

Fehler Nr.1: Ich habe geschrieben, dass man für ein Polynom 6.Grades 7 Bedingungen aufstellen muss. Da unsere Koeffizienten einem Körper entstammen ist das falsch - es genügen schon 6 Bedingungen, da Sie ohne Einschränkung der Allgemeinheit den Koeffizienten der höchsten Potenz gleich 1 setzen dürfen. Man nennt das übrigens "normieren" und Sie können das einfach erreichen, indem Sie das Polynom einfach durch diesen Koeffizienten dividieren.

Somit ist auch meine Aussage mit der linearen Abhängigkeit der 8.Bedingung ungenau - da man ja nur 6 Bedingungen benötigt müssen nicht nur eine sogar zwei der von uns aufgestellten Bedingungen linear abhängig sein.


Fehler Nr.2: Ich hatte geschrieben, dass die Bedingung p'(1) = 0 von den Bedingungen p(1) = 0 und p"(1) = 0 linear abhängig sei. Auch wenn ich momentan noch nicht genau sehe, warum dem so ist, so muss diese Aussage unzutreffend sein, denn es war ja möglich, dass Polynom NUR aus der Kenntnis der Nullstellen und ihrer Vielfachheiten EINDEUTIG zu bestimmen:

p(x) = (x+3)^2 * (x+1) * (x-1)^3

Der Rest war ja "nur" ausmultiplizieren. Jedenfalls wäre diese Eindeutigkeit nicht gegeben, wenn die Bedingung p'(1) = 0 linear abhängig wäre.

Ich bitte diese beiden Fehler zu entschuldigen; ich habe seit Jahrzehnten nicht mehr solche Rechnungen durchgeführt.

Freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg

Hallo Ralf, bei x=0 kommt bei Deiner Gleichung -9 raus. Es scheint noch ein Faktor 10 zuviel zu sein. (äh, nein 70, passiert also auch den Mathematikern. Ich nehme das mit Sympathie zur Kenntnis) Herzliche Grüße MAC

Hallo Herr Kannenberg!
diese Fehler werden selbstverständkich entschuldigt - habe noch selten so viel Interessierendes in kurzer Zeit (wieder)erlernt und zudem noch Begrifflichkeiten wie Nullstellen und Vielfachheiten und aus Ihren Zeilen spricht noch manches weitere KnowHow zur Mathematik - vielleicht machen wir hier auf achtphasenen einen eigenen MathematikBlog auf - das wäre spannend - spannender jedenfalls als die abgekaute CERN-Kritik samt Kritik der Kritiker
wirklich: ich habe mich auf achtphasen schon lange nicht mehr so gut unterhalten um nicht zu schreiben amüsiert.
Ich danke!
Und ich werde nachrechnend auf diese vielen Informationen hier zurückkommen.
freundliche Grüsse, Marc Fasnacht

Hallo Mac,

ja natürlich kommt bei x=0 der Wert -9 heraus, denn sonst wäre ja der konstante Term nicht -9. Ich habe aber nichts anderes behauptet und insbesondere ist die Null ja auch keine Nullstelle dieses Polynoms.

Im Übrigen sind diese Polynome, die sich nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, alle "äquivalent", da die Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen usw, nicht von einem konstanten Faktor abhängen.

In der Algebra würde man sagen, dass diese Polynome alle bis auf "Einheiten" gleich sind, wobei man üblicherweise unter Einheiten die Zahlen mit Betrag 1 versteht, also +1 und -1. Eine Einheit ist aber anders definiert: Einheiten sind solche Ringelemente, welche ein multiplikatives Inverses haben, d.h. welche vom Nullelement verschieden sind und durch die jedes Ringelement geteilt werden kann. Im Ring der ganzen Zahlen geht das ja nur für r/1 und für r/(-1), so dass also {1, -1} die Einheiten des Ringes der ganzen Zahlen sind.

Ringe müssen übrigens nicht zwingend Einheiten haben: so hat beispielsweise der Ring der ganzen geraden Zahlen keine Einheit.

Im Falle eines Körpers indes muss ja jedes von Null verschiedene Element ein multiplikativ Inverses haben, d.h. dort ist ausser der 0 JEDES Element eine Einheit.

Und das ist nun aus algebraischer SIcht der Grund, warum diese Polynome bis auf einen konstanten Faktor alle äquivalent sind: Weil diese konstanten Faktoren eben die Einheiten sind.

Freundliche Grüsse, Ralf

Hallo Marc,

Comment von Ralf Kannenberg
Hallo Mac,

ja natürlich kommt bei x=0 der Wert -9 heraus, denn sonst wäre ja der konstante Term nicht -9.
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Siehst Du jetzt wenigstens, warum Ingenieure Brücken bauen und nicht Mathematiker? ;)

Herzliche Grüße

MAC

Hallo Mac,

ich lag schon im Bett als ich plötzlich bemerkte was Du meinst ...

Natürlich hast Du völlig recht - ich habe den geometrischen Aspekt der Aufgabe nicht berücksichtigt: Der Graph ist - im Gegensatz zum Polynom - natürlich nicht "bis auf Einheiten" eindeutig, sondern er ist VÖLLIG eindeutig.

Somit müssen wir also noch die "Höhe" des Graphen bestimmen, d.h. eine weitere Bedingung wird benötigt und wie Mac schon angedeutet hat kann man das bei der Stelle x=0 bequem tun.

Für den konkreten Graphen der Aufgabe gilt also p_Graph(0) = -0.9 und somit sind alle Koeffizienten meiner Lösung durch 10 zu dividieren:

p_Graph(x) = (1/10)*x^6 + (2/5)*x^5 - (3/10)*x^4 - (8/5)*x^3 + (11/10)*x^2 + (6/5)*x - 9/10

***sorry sorry sorry sorry ***

Zum Glück gibt es ja noch die Ingenieure, die sowas sofort bemerken ;)

Danke schön für die Korrektur und freundliche Grüsse, Ralf